Question

La fecha de invención de la imprenta por Gutemberg está expresada por un número de cuatro cifras; búsquese este número, si se sabe que la suma de sus cifras es 14, la cifra de las decenas es la mitad de las unidades, la cifra de las centenas es igual a la suma de la cifra de las decenas y de las unidades de mil, si se añade 4905 a este número se obtiene el número invertido. Resuelve aplicando sistema de ecuaciones 3x3

Answer 1

El número es 1436

Explanation

Consideremos nuestro número escrito de la forma abcd. Es decir, nuestro número es 1000a+100b+10c+d. Vamos a escribir cada ecuación según lo descrito:

- a+b+c+d = 14. (la suma de sus cifras es 14)

- c = d/2. (la cifra de las decenas es la mitad de las unidades)

- b = c+a.

- 1000a+100b+10c+d + 4905 = 1000d+100c+10b+a

Utilizamos la segunda ecuación para eliminar la variable c. Es decir,

- a+b+d/2+ d = 14 (o equivalente 2a+2b+3d = 28)

-b = d/2+a (o equivalente 2b-2a -d= 0)

- 1000a+100b+10d/2+d + 4905 = 1000d+100d/2+10b+a (o equivalente

999a+90b -1044d = -4905)

De aquí, obtenemos el sistema

`\left[\begin{matrix} 2 & 3 &3 \\ -2 &2 &-1 \\ 999 & 90 & -1044 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}a \\ b \\ d \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 28 \\ 0 \\-4905\end{matrix}\right]`

Usando cualquier método de resolución (puede ser por eliminación Gaussiana, o calculando la matrix inversa) obtenemos la solución a=1, b=4, d = 6. En este caso, tenemos que c=3. Es decir, nuestro número es el número 1436. Podemos verificar que cada una de las condiciones se cumple.