Question

Se presentaron entre 50 y 80 participantes del Nivel 1. Para trabajar durante el certamen se pudieron agrupar en forma exacta si lo hacían de a cuatro; pero si lo hacían de a cinco, faltaba una persona. ¿Cuántos participantes del Nivel 1 se postularon?

Answer 1

64 participantes del Nivel 1 se postularon al certamen.

Explanation:

Sabemos que asistió una cantidad
`x` que es un número natural entre 50 y 80, también conocemos que:

1) Para trabajar durante el certamen se pudieron agrupar en forma exacta si lo lo hacían de a cuatro:

`4\cdot n = x` (Ec. 1)

Donde
`n` es el número de grupos de a cuatro, adimensional.

2) Pero si lo hacían de a cinco, faltaba una persona:

`5\cdot r -1 = x` (Ec. 2)

Donde
`r` es el número de grupos de a cinco, adimensional.

Si analizamos (Ec. 1), entonces podemos deducir que
`x` debe ser un número natural par para ser divisible por 4, a su vez, divisible por 2, un número primo.

Por otra parte,
`x` debe lleva a que
`r` sea un número natural por (Ec. 2).

Ahora, buscamos los posibles valores de
`x` divisibles por 4:

`A=\{52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80\}`

Ahora utilizamos para revisar cual valor del conjunto A lleva a un valor
`r` que sea un número natural. Es decir:

`r = (x+1)/(5)`

Como podemos ver, el numerador debe terminar en 0 o 5 para ser divisible por 5, así, es evident que el elemento requerido del conjunto A es 64:

`r = (64+1)/(5)`

`r = 13`

En síntesis, 64 participantes del Nivel 1 se postularon al certamen.