Question

Ejercicio Nº 4 Desde la parte superior de un acantilado de 80 metros de altura se dispara horizontalmente una piedra a razón de 8m/s. Calcular: g = 10m/s? 1) el tiempo que permanece en el aire. 2) la distancia horizontal que el cuerpo alcanza. 3) la velocidad con que la piedra alcanza el suelo​

Answer 1

1) La piedra permanece en el aire en 4 segundos.

2) La piedra alcanza una distancia horizontal de 32 metros.

3) La velocidad de la piedra con la que alcanza el suelo es aproximadamente 40.792 metros por segundo.

Explanation:

El problema nos indica un caso de tipo parabólico, el cual consiste en la suma de un movimiento horizontal a velocidad y un movimiento uniforme acelerado por la gravedad desde el reposo.

1) El tiempo total que la piedra permanecería en el aire es tiempo requerido entre la parte superior del acantilado y el fondo. La ecuación cinemática que vamos a utilizar es la siguiente:

`y = y_(o) + v_(o,y)\cdot t +(1)/(2)\cdot g \cdot t^(2)` (Ec. 1)

Donde:

`y_(o)` - Altura inicial, medida en metros.

`y` - Altura final, medida en metros.

`v_(o,y)` - Velocidad vertical inicial de la piedra, meadida en metros por segundo.

`g` - Aceleración gravitacional, medido en metros por segundo al cuadrado.

`t` - Tiempo, medido en segundos.

Si sabemos que
`y_(o) = 80\,m`,
`v_(o,y) = 0\,(m)/(s)` y
`g = -10\,(m)/(s^(2))`, entonces encontramos la siguiente función cuadrática:

`-5\cdot t^(2)+80 = 0` (Ec. 2)

El tiempo en el que la piedra permanece en el aire es:

`t = 4\,s`

La piedra permanece en el aire en 4 segundos.

2) La distancia horizontal es descrita por la siguiente fórmula cinemática:

`x = x_(o)+v_(o,x)\cdot t` (Ec. 3)

Donde:

`x_(o)` - Posición horizontal inicial, medido en metros.

`x` - Posición horizontal final, medido en metros.

`v_(o,x)` - Velocidad horizontal inicial de la piedra, medida en metros por segundo.

Si sabemos que
`x_(o) = 0\,m`,
`v_(o,x) = 8\,(m)/(s)` and
`t = 4\,s`, entonces la distancia horizontal alcanzada por la piedra es:

`x = 0\,m + \left(8\,(m)/(s)\right)\cdot (4\,s)`

`x = 32\,m`

La piedra alcanza una distancia horizontal de 32 metros.

3) En primer lugar, determinamos los componentes vertical y horizontal de la velocidad final de la piedra por medio de las siguientes fórmulas cinemáticas:

Velocidad final horizontal (
`v_(x)`), medida en metros por segundo.

`v_(x) = (x-x_(o))/(t)` (Ec. 4)

Velocidad final vertical (
`v_(y)`), medida en metros por segundo.

`v_(y) = v_(o,y)+g\cdot t` (Ec. 5)

Si
`x = 32\,m`,
`x_(o) = 0\,m`.
`t = 4\,s`,
`v_(o,y) = 0\,(m)/(s)` y
`g = -10\,(m)/(s^(2))`, los componentes de la velocidad final de la piedra son:

`v_(x) = (32\,m-0\,m)/(4\,s)`

`v_(x) = 8\,(m)/(s)`

`v_(y) = 0\,(m)/(s)+\left(-10\,(m)/(s^(2)) \right) \cdot (4\,s)`

`v_(y) = -40\,(m)/(s)`

Por último, determinamos la velocidad final de la piedra por Teorema de Pitágoras:

`v = \sqrt{v_(x)^(2)+v_(y)^(2)}` (Ec. 6)

`v = \sqrt{\left(8\,(m)/(s) \right)^(2)+\left(-40\,(m)/(s) \right)^(2)}`

`v \approx 40.792\,(m)/(s)`

La velocidad de la piedra con la que alcanza el suelo es aproximadamente 40.792 metros por segundo.