Answer:
π − 12
Explanation:
lim(x→2) (sin(πx) + 8 − x³) / (x − 2)
If we substitute x = u + 2:
lim(u→0) (sin(π(u + 2)) + 8 − (u + 2)³) / ((u + 2) − 2)
lim(u→0) (sin(πu + 2π) + 8 − (u + 2)³) / u
Distribute the cube:
lim(u→0) (sin(πu + 2π) + 8 − (u³ + 6u² + 12u + 8)) / u
lim(u→0) (sin(πu + 2π) + 8 − u³ − 6u² − 12u − 8) / u
lim(u→0) (sin(πu + 2π) − u³ − 6u² − 12u) / u
Using angle sum formula:
lim(u→0) (sin(πu) cos(2π) + sin(2π) cos(πu) − u³ − 6u² − 12u) / u
lim(u→0) (sin(πu) − u³ − 6u² − 12u) / u
Divide:
lim(u→0) [ (sin(πu) / u) − u² − 6u − 12 ]
lim(u→0) (sin(πu) / u) + lim(u→0) (-u² − 6u − 12)
lim(u→0) (sin(πu) / u) − 12
Multiply and divide by π.
lim(u→0) (π sin(πu) / (πu)) − 12
π lim(u→0) (sin(πu) / (πu)) − 12
Use special identity, lim(x→0) ((sin x) / x ) = 1.
π (1) − 12
π − 12