Explanation:
(cos(3A) − sin(3A)) / (1 − 2 sin(2A))
Use double angle formula:
(cos(3A) − sin(3A)) / (1 − 4 sin A cos A)
Use triple angle formulas:
(4 cos³A − 3 cos A − 3 sin A + 4 sin³A) / (1 − 4 sin A cos A)
Group and factor:
(4 (cos³A + sin³A) − 3 (cos A + sin A)) / (1 − 4 sin A cos A)
Factor the sum of cubes:
(4 (cos A + sin A) (cos²A − cos A sin A + sin²A) − 3 (cos A + sin A)) / (1 − 4 sin A cos A)
Use Pythagorean identity:
(4 (cos A + sin A) (1 − cos A sin A) − 3 (cos A + sin A)) / (1 − 4 sin A cos A)
Factor out cos A + sin A:
(cos A + sin A) (4 (1 − cos A sin A) − 3) / (1 − 4 sin A cos A)
Simplify:
(cos A + sin A) (4 − 4 cos A sin A − 3) / (1 − 4 sin A cos A)
(cos A + sin A) (1 − 4 cos A sin A) / (1 − 4 sin A cos A)
cos A + sin A