Question

Sea B = 5.00 m a 60.0°. Sea C que tiene la misma magnitud que A y un ángulo de dirección mayor que el de A en 25.0°. Sea A ⦁ B = 30.0 m2 y B ⦁ C = 35.0 m2 . Encuentre A.

Answer 1

`\| \vec A \| = 6.163\,m`

Step-by-step explanation:

Sean A, B y C vectores coplanares tal que:

`\vec A = (\| \vec A \|\cdot \cos \theta_(A),\| \vec A \|\cdot \sin \theta_(A))`,
`\vec B = (\| \vec B \|\cdot \cos \theta_(B),\| \vec B \|\cdot \sin \theta_(B))` y
`\vec C = (\| \vec C \|\cdot \cos \theta_(C),\| \vec C \|\cdot \sin \theta_(C))`

Donde
`\| \vec A \|`,
`\| \vec B \|` y
`\| \vec C \|` son las normas o magnitudes respectivas de los vectores A, B y C, mientras que
`\theta_(A)`,
`\theta_(B)` y
`\theta_(C)` son las direcciones respectivas de aquellos vectores, medidas en grados sexagesimales.

Por definición de producto escalar, se encuentra que:

`\vec A \,\bullet\, \vec B = \|\vec A \| \| \vec B \| \cos \theta_(B)\cdot \cos \theta_(A) + \|\vec A \| \| \vec B \| \sin \theta_(B)\cdot \sin \theta_(A)`

`\vec B \,\bullet\, \vec C = \|\vec B \| \| \vec C \| \cos \theta_(B)\cdot \cos \theta_(C) + \|\vec B \| \| \vec C \| \sin \theta_(B)\cdot \sin \theta_(C)`

Asimismo, se sabe que
`\| \vec B \| = 5\,m`,
`\theta_(B) = 60^(\circ)`,
`\vec A \,\bullet \,\vec B = 30\,m^(2)`,
`\vec B\, \bullet\, \vec C = 35\,m^(2)`,
`\|\vec A \| = \| \vec C \|` y
`\theta_(C) = \theta_(A) + 25^(\circ)`. Entonces, las ecuaciones quedan simplificadas como siguen:

`30\,m^(2) = 5\|\vec A \| \cdot (\cos 60^(\circ)\cdot \cos \theta_(A) + \sin 60^(\circ)\cdot \sin \theta_(A))`

`35\,m^(2) = 5\|\vec A \| \cdot [\cos 60^(\circ)\cdot \cos (\theta_(A)+25^(\circ)) + \sin 60^(\circ)\cdot \sin (\theta_(A)+25^(\circ))]`

Es decir,

`30\,m^(2) = \| \vec A \| \cdot (2.5\cdot \cos \theta_(A) + 4.330\cdot \sin \theta_(A))`

`35\,m^(2) = \| \vec A \| \cdot [2.5\cdot \cos (\theta_(A)+25^(\circ))+4.330\cdot \sin (\theta_(A)+25^(\circ)})]`

Luego, se aplica las siguientes identidades trigonométricas para sumas de ángulos:

`\cos (\theta_(A)+25^(\circ)) = \cos \theta_(A)\cdot \cos 25^(\circ) - \sin \theta_(A)\cdot \sin 25^(\circ)`

`\sin (\theta_(A)+25^(\circ)) = \sin \theta_(A)\cdot \cos 25^(\circ) + \cos \theta_(A) \cdot \sin 25^(\circ)`

Es decir,

`\cos (\theta_(A)+25^(\circ)) = 0.906\cdot \cos \theta_(A) - 0.423 \cdot \sin \theta_(A)`

`\sin (\theta_(A)+25^(\circ)) = 0.906\cdot \sin \theta_(A) + 0.423 \cdot \cos \theta_(A)`

Las nuevas expresiones son las siguientes:

`30\,m^(2) = \| \vec A \| \cdot (2.5\cdot \cos \theta_(A) + 4.330\cdot \sin \theta_(A))`

`35\,m^(2) = \| \vec A \| \cdot [2.5\cdot (0.906\cdot \cos \theta_(A) - 0.423 \cdot \sin \theta_(A))+4.330\cdot (0.906\cdot \sin \theta_(A) + 0.423 \cdot \cos \theta_(A))]`

Ahora se simplifican las expresiones, se elimina la norma de
`\vec A` y se desarrolla y simplifica la ecuación resultante:

`30\,m^(2) = \| \vec A \| \cdot (2.5\cdot \cos \theta_(A) + 4.330\cdot \sin \theta_(A))`

`35\,m^(2) = \| \vec A \| \cdot (4.097\cdot \cos \theta_(A) +2.865\cdot \sin \theta_(A))`

`(30\,m^(2))/(2.5\cdot \cos \theta_(A)+ 4.330\cdot \sin \theta_(A)) = (35\,m^(2))/(4.097\cdot \cos \theta_(A) + 2.865\cdot \sin \theta_(A))`

`30\cdot (4.097\cdot \cos \theta_(A) + 2.865\cdot \sin \theta_(A)) = 35\cdot (2.5\cdot \cos \theta_(A)+4.330\cdot \sin \theta_(A))`

`122.91\cdot \cos \theta_(A) + 85.95\cdot \sin \theta_(A) = 87.5\cdot \cos \theta_(A) + 151.55\cdot \sin \theta_(A)`

`35.41\cdot \cos \theta_(A) = 65.6\cdot \sin \theta_(A)`

`\tan \theta_(A) = (35.41)/(65.6)`

`\tan \theta_(A) = 0.540`

Ahora se determina el ángulo de
`\vec A`:

`\theta_(A) = \tan^(-1) \left(0.540\right)`

La función tangente es positiva en el primer y tercer cuadrantes y tiene un periodicidad de 180 grados, entonces existen al menos dos soluciones del ángulo citado:

`\theta_(A, 1) \approx 28.369^(\circ)` y
`\theta_(A, 2) \approx 208.369^(\circ)`

Ahora, la magnitud de
`\vec A` es:

`\| \vec A \| = (35\,m^(2))/(4.097\cdot \cos 28.369^(\circ) + 2.865\cdot \sin 28.369^(\circ))`

`\| \vec A \| = 6.163\,m`