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Sea B = 5.00 m a 60.0°. Sea C que tiene la misma magnitud que A y un ángulo de dirección mayor que el de A en 25.0°. Sea A ⦁ B = 30.0 m2 y B ⦁ C = 35.0 m2 . Encuentre A.

User Tuvia
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Answer:


\| \vec A \| = 6.163\,m

Step-by-step explanation:

Sean A, B y C vectores coplanares tal que:


\vec A = (\| \vec A \|\cdot \cos \theta_(A),\| \vec A \|\cdot \sin \theta_(A)),
\vec B = (\| \vec B \|\cdot \cos \theta_(B),\| \vec B \|\cdot \sin \theta_(B)) y
\vec C = (\| \vec C \|\cdot \cos \theta_(C),\| \vec C \|\cdot \sin \theta_(C))

Donde
\| \vec A \|,
\| \vec B \| y
\| \vec C \| son las normas o magnitudes respectivas de los vectores A, B y C, mientras que
\theta_(A),
\theta_(B) y
\theta_(C) son las direcciones respectivas de aquellos vectores, medidas en grados sexagesimales.

Por definición de producto escalar, se encuentra que:


\vec A \,\bullet\, \vec B = \|\vec A \| \| \vec B \| \cos \theta_(B)\cdot \cos \theta_(A) + \|\vec A \| \| \vec B \| \sin \theta_(B)\cdot \sin \theta_(A)


\vec B \,\bullet\, \vec C = \|\vec B \| \| \vec C \| \cos \theta_(B)\cdot \cos \theta_(C) + \|\vec B \| \| \vec C \| \sin \theta_(B)\cdot \sin \theta_(C)

Asimismo, se sabe que
\| \vec B \| = 5\,m,
\theta_(B) = 60^(\circ),
\vec A \,\bullet \,\vec B = 30\,m^(2),
\vec B\, \bullet\, \vec C = 35\,m^(2),
\|\vec A \| = \| \vec C \| y
\theta_(C) = \theta_(A) + 25^(\circ). Entonces, las ecuaciones quedan simplificadas como siguen:


30\,m^(2) = 5\|\vec A \| \cdot (\cos 60^(\circ)\cdot \cos \theta_(A) + \sin 60^(\circ)\cdot \sin \theta_(A))


35\,m^(2) = 5\|\vec A \| \cdot [\cos 60^(\circ)\cdot \cos (\theta_(A)+25^(\circ)) + \sin 60^(\circ)\cdot \sin (\theta_(A)+25^(\circ))]

Es decir,


30\,m^(2) = \| \vec A \| \cdot (2.5\cdot \cos \theta_(A) + 4.330\cdot \sin \theta_(A))


35\,m^(2) = \| \vec A \| \cdot [2.5\cdot \cos (\theta_(A)+25^(\circ))+4.330\cdot \sin (\theta_(A)+25^(\circ)})]

Luego, se aplica las siguientes identidades trigonométricas para sumas de ángulos:


\cos (\theta_(A)+25^(\circ)) = \cos \theta_(A)\cdot \cos 25^(\circ) - \sin \theta_(A)\cdot \sin 25^(\circ)


\sin (\theta_(A)+25^(\circ)) = \sin \theta_(A)\cdot \cos 25^(\circ) + \cos \theta_(A) \cdot \sin 25^(\circ)

Es decir,


\cos (\theta_(A)+25^(\circ)) = 0.906\cdot \cos \theta_(A) - 0.423 \cdot \sin \theta_(A)


\sin (\theta_(A)+25^(\circ)) = 0.906\cdot \sin \theta_(A) + 0.423 \cdot \cos \theta_(A)

Las nuevas expresiones son las siguientes:


30\,m^(2) = \| \vec A \| \cdot (2.5\cdot \cos \theta_(A) + 4.330\cdot \sin \theta_(A))


35\,m^(2) = \| \vec A \| \cdot [2.5\cdot (0.906\cdot \cos \theta_(A) - 0.423 \cdot \sin \theta_(A))+4.330\cdot (0.906\cdot \sin \theta_(A) + 0.423 \cdot \cos \theta_(A))]

Ahora se simplifican las expresiones, se elimina la norma de
\vec A y se desarrolla y simplifica la ecuación resultante:


30\,m^(2) = \| \vec A \| \cdot (2.5\cdot \cos \theta_(A) + 4.330\cdot \sin \theta_(A))


35\,m^(2) = \| \vec A \| \cdot (4.097\cdot \cos \theta_(A) +2.865\cdot \sin \theta_(A))


(30\,m^(2))/(2.5\cdot \cos \theta_(A)+ 4.330\cdot \sin \theta_(A)) = (35\,m^(2))/(4.097\cdot \cos \theta_(A) + 2.865\cdot \sin \theta_(A))


30\cdot (4.097\cdot \cos \theta_(A) + 2.865\cdot \sin \theta_(A)) = 35\cdot (2.5\cdot \cos \theta_(A)+4.330\cdot \sin \theta_(A))


122.91\cdot \cos \theta_(A) + 85.95\cdot \sin \theta_(A) = 87.5\cdot \cos \theta_(A) + 151.55\cdot \sin \theta_(A)


35.41\cdot \cos \theta_(A) = 65.6\cdot \sin \theta_(A)


\tan \theta_(A) = (35.41)/(65.6)


\tan \theta_(A) = 0.540

Ahora se determina el ángulo de
\vec A:


\theta_(A) = \tan^(-1) \left(0.540\right)

La función tangente es positiva en el primer y tercer cuadrantes y tiene un periodicidad de 180 grados, entonces existen al menos dos soluciones del ángulo citado:


\theta_(A, 1) \approx 28.369^(\circ) y
\theta_(A, 2) \approx 208.369^(\circ)

Ahora, la magnitud de
\vec A es:


\| \vec A \| = (35\,m^(2))/(4.097\cdot \cos 28.369^(\circ) + 2.865\cdot \sin 28.369^(\circ))


\| \vec A \| = 6.163\,m

User Lawrence Eagles
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