Question

“encontrar la integral indefinida y verificar el resultado mediante derivación”

Si alguien me pudiera explicar los problemas de la foto de forma detallada me ayudaría mucho.
gracias ;;;

Answer 1

`I=\displaystyle\int\frac x{(1-x^2)^3}\,\mathrm dx`

Haz la sustitución:

`y=1-x^2\implies\mathrm dy=-2x\,\mathrm dx`

`\implies I=\displaystyle-\frac12\int(\mathrm dy)/(y^3)=\frac1{4y^2}+C=\frac1{4(1-x^2)^2}+C`

Para confirmar el resultado:

`(\mathrm dI)/(\mathrm dx)=\frac14\left(-(2(-2x))/((1-x^2)^3)\right)=\frac x{(1-x^2)^3}`

`I=\displaystyle\int(x^2)/((1+x^3)^2)\,\mathrm dx`

Sustituye:

`y=1+x^3\implies\mathrm dy=3x^2\,\mathrm dx`

`\implies I=\displaystyle\frac13\int(\mathrm dy)/(y^2)=-\frac1{3y}+C=-\frac1{3(1+x^3)}+C`

(Te dejaré confirmar por ti mismo.)

`I=\displaystyle\int\frac x{√(1-x^2)}\,\mathrm dx`

Sustituye:

`y=1-x^2\implies\mathrm dy=-2x\,\mathrm dx`

`\implies I=\displaystyle-\frac12\int(\mathrm dy)/(\sqrt y)=-\frac12(2\sqrt y)+C=-√(1-x^2)+C`

`I=\displaystyle\int\left(1+\frac1t\right)^3(\mathrm dt)/(t^2)`

Sustituye:

`u=1+\frac1t\implies\mathrm du=-(\mathrm dt)/(t^2)`

`\implies I=-\displaystyle\int u^3\,\mathrm du=-\frac{u^4}4+C=-\frac{\left(1+\frac1t\right)^4}4+C`

Podemos hacer que esto se vea un poco mejor:

`\left(1+\frac1t\right)^4=\left(\frac{t+1}t\right)^4=((t+1)^4)/(t^4)`

`\implies I=-((t+1)^4)/(4t^4)+C`