Question

(cosysin2x)dx+(cos^2y-cos^2
x)dy=0​

Answer 1

`(cos \: y \: sin \: 2x)dx + ( {cos}^(2) y - {cos}^(2) x)dy = 0`

It is of the form:-

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

So here,

`M = (cos \: y \: sin \: 2x),N = ( {cos}^(2) y - {cos}^(2) - x)`

`\therefore{ \displaystyle{ \frac{ {\partial}M}{ {\partial}y} = - sin \: y \: sin \: 2x}}`

`N = {cos}^(2) y - {cos}^(2) x \implies \displaystyle{ \frac{{ \partial}N}{ \partial x} }`

`= - 2( - sin(x)cos(x)) = sin(2x)`

So,

`\large{ ( ( \partial M)/( \partial y) - ( \partial N)/( \partial x) )/(M) }`

`= ( - sin \: y \: sin \: 2x)/(cos \: y \: sin \: 2x)`

`= - ( sin \: 2x(1 + sin \: y))/(cos \: y \: sin \: 2x)`

`= - (sec \: y \: + \: tan \: y) = - g(y)`

`I.F. = {e}^( -\int g(y)dy)`

`= {e}^( \int (sec \: y \: + tan \: y)dy)`

`= {e}^( ln(sec \: y \: + tan \: y) + ln(sec \: y) )`

Now,

`cos \: y \: sin \: 2x \: sec \: y \: (sec \: y \: + tan \: y)dx + (co {s}^(2)y - {cos}^(2) x)sec \: y \: (sec \: y \: + tan \: y)dy = 0`

`= sin \: 2x(sec \: y \: + tan \: y)dx + (co {s}^(2) x)( {sec}^(2) y + sec \: y \: tan \: y)dy = 0`

`= sin \: 2x(sec \: y + tan \: y)dx + (1 - {sec}^(2) y \: {cos}^(2) x + sin \: y \: - {cos}^(2) x \: sec \: y \: tan \: y)dy = 0`

So,the solution now is,

`\displaystyle{\int_((y \: const))Mdx + \int(terms \: of \: \: N \: not \: containing \: x)dy = C}`

`\int \: sin \: 2x(sec \: y \: + tan \: y)dx + \int (1 + sin \: y)dy = C`

`- (1)/(2) cos \: 2x(sec \: y \: + tan \: y) + y = c - cos \: y`