Question

Técnica de conteo en estadística 6. Regla multiplicativa. Para el experimento de un lanzamiento de dado y sacar una carta de una baraja de Poker (52 cartas). a. Calcule la cantidad de elementos del espacio muestral. b. Calcula la probabilidad de que salga un número par en el dado un AS en la baraja.

Answer 1

Para el punto a. tenemos 312 elementos en el espacio muestral

Para el punto b. la probabilidad pedida es
`(1)/(26)`

Explanation:

Comencemos explicando el principio de multiplicación. Supongamos que se tiene un experimento por etapas, es decir, una primera etapa que se puede llevar a cabo de ''
`x_(1)` '' maneras distintas, una segunda etapa que se puede llevar a cabo de ''
`x_(2)` '' maneras distintas y así sucesivamente hasta una etapa final que se puede llevar a cabo de ''
`x_(n)` '' maneras distintas. La cantidad total de formas de desarrollar todo el experimento se puede calcular como el producto de las distintas maneras en que se puede ejecutar cada etapa :

Formas de desarrollar todo el experimento =
`x_(1)x_(2)` ...
`x_(n)`

Para el punto a. del ejercicio vamos a utilizar este principio para calcular la cantidad de elementos del espacio muestral. La primera etapa del experimento sería el lanzamiento del dado y una segunda etapa el sacar una carta de una baraja de poker (52 cartas distintas). Entonces, para un dado tenemos 6 posibles opciones y cuando sacamos una carta podemos obtener 52 resultados distintos. Por lo tanto ⇒

`(6)(52)=312`

Tenemos un total de 312 elementos en el espacio muestral (todos distintos) y con la misma probabilidad de ocurrencia ya que suponemos que en el dado tenemos la misma probabilidad de obtener un uno, un dos, etc; así como en la baraja tenemos la misma probabilidad de sacar cada una de las cartas.

Para el punto b. utilizaremos el hecho de que estamos frente a un espacio muestral equiprobable y calcularemos la probabilidad del evento ''sale un número par en el dado y un AS en la baraja'' contando los casos favorables a este evento y dividiendo por la cantidad de elementos totales del espacio muestral. Podremos hacerlo de esta manera ya que el espacio muestral es equiprobable. Definimos para ello

`A:` ''Sale un número par en el dado y un AS en la baraja''

`P(A)=(CasosFavorablesAlEventoA)/(CasosTotales)`

Los casos totales son 312 (calculados en el inciso a.)

Los casos favorables al evento A se pueden escribir utilizando el principio de multiplicación como

`(3)(4)=12`

El 3 es por los tres números pares que podemos obtener del dado (estos números son el dos, cuatro y el seis).

El 4 se debe a la cantidad de ases en una baraja de Póker de 52 cartas (estos son el as de corazones, el as de picas, el as de trébol y el as de diamantes).

Reemplazando en la expresión de
`P(A)` obtenemos :

`P(A)=(12)/(312)=(1)/(26)`

Otra forma de haber calculado esta probabilidad es utilizando el hecho de que tirar el dado y sacar una carta de la baraja son dos eventos independientes. Por ende, la probabilidad se puede calcular como el producto de la probabilidad parcial de cada evento. Esto es :

B : ''Sale un número par en el dado''

C : ''Saco un as en la baraja''

`P(B)=(3)/(6)=(1)/(2)`

Tres casos favorables a que salga un número par de seis posibles.

`P(C)=(4)/(52)`

Cuatro casos favorables a obtener un as de la baraja de 52 casos posibles.

Ahora escribimos

P ( B ∩ C ) = P(B).P(C)

Por ser B y C dos eventos independientes. Entonces

`P(B)P(C)=((1)/(2))((4)/(52))=(1)/(26)`

Obteniéndose la misma probabilidad ya calculada.