Question

The truth table for the formula (X → Y ) ∨ (Z → ¬X)

Answer 1

`\begin{array}cX & Y & Z & (X \to Y) \lor (Z \to \lnot X) \\ \cline{1-4} \rm T & \rm T & \rm T & \rm T\\ \rm T & \rm T & \rm F & \rm T \\ \rm T & \rm F & \rm T & \rm F \\ \rm T & \rm F & \rm F & \rm T \\ \cline{1-4} \rm F & \rm T & \rm T & \rm T \\ \rm F & \rm T & \rm F & \rm T \\ \rm F & \rm F & \rm T & \rm T \\ \rm F & \rm F & \rm F & \rm T\end{array}`.

.

Explanation:

Let
`A` denote a Boolean variable.

The negation of
`A` (
`\lnot A`) is false if when
`\!A` is true, and true when
`A\!` is false. In a truth table:

`\begin{array}c A & \lnot A \\ \cline{1-2} \rm T & \rm F \\ \rm F & \rm T\end{array}`.

.

Let
`B` denote another Boolean variable. The material implication "
`A` implies
`\!B`" (
`A \to B`) is true unless
`B\!` is false when
`A\!` is true.

`\begin{array}c A & B & A \to B \\ \cline{1-3} \rm T & \rm T & \rm T \\ \rm T & \rm F & \rm F \\ \rm F & \rm T & \rm T \\ \rm F & \rm F & \rm T\end{array}`.

The logical or "
`A` or
`B`" is true when either
`A\!` or
`B\!` is true (and also when both are true.)

`\begin{array}c A & B & A \lor B \\ \cline{1-3} \rm T & \rm T & \rm T \\ \rm T & \rm F & \rm T \\ \rm F & \rm T & \rm T \\ \rm F & \rm F & \rm F\end{array}`

.

Start by finding the value of
`\lnot X`,
`(X \to Y)`, and
`(Z \to \lnot X)` for each of the
`2^3 = 8` possible combinations of
`X`,
`Y`, and
`Z`.

`\begin{array}cX & Y & Z & \lnot X & (X \to Y) & (Z \to \lnot X) \\ \cline{1-6} \rm T & \rm T & \rm T & \rm F & \rm T & \rm F\\ \rm T & \rm T & \rm F & \rm F & \rm T & \rm T \\ \rm T & \rm F & \rm T & \rm F & \rm F & \rm F \\ \rm T & \rm F & \rm F & \rm F & \rm F & \rm T \\ \cline{1-6} \rm F & \rm T & \rm T & \rm T & \rm T & \rm T \\ \rm F & \rm T & \rm F & \rm T & \rm T & \rm T \\ \rm F & \rm F & \rm T & \rm T & \rm T & \rm T \\ \rm F & \rm F & \rm F & \rm T & \rm T & \rm T \end{array}`.

.

The value of
`(X \to Y) \lor (Z \to \lnot X)` is true whenever either
`(X \to Y)` or
`(Z \to \lnot X)` is true (or both.) The combination
`X = \rm T`,
`Y = \rm F`, and
`Z = \rm T` is the only one among the eight where neither
`(X \to Y)\!` nor
`(Z \to \lnot X)\!` is true.
`(X \to Y) \lor (Z \to \lnot X)\!` would evaluate to true for all other combinations.

Hence, the truth table would be:

`\begin{array}cX & Y & Z & (X \to Y) \lor (Z \to \lnot X) \\ \cline{1-4} \rm T & \rm T & \rm T & \rm T\\ \rm T & \rm T & \rm F & \rm T \\ \rm T & \rm F & \rm T & \rm F \\ \rm T & \rm F & \rm F & \rm T \\ \cline{1-4} \rm F & \rm T & \rm T & \rm T \\ \rm F & \rm T & \rm F & \rm T \\ \rm F & \rm F & \rm T & \rm T \\ \rm F & \rm F & \rm F & \rm T\end{array}`.

.