Question

Ayudemen porfavor . Determine 4 ala potencia x + 4 ala potencia -x, si se sabe que 2ala potencia x + 2 ala potencia -x =3

Answer 1

Es igual a 7.

Explanation:

Ok, sabemos que:

`2^x + 2^(-x) = 3`

Queremos calcular:

`4^x + 4^(-x)`

Tambien sabemos que 4 = 2*2

Entonces:

`4^x + 4^(-x) = (2*2)^x + (2*2)^(-x)`

y sabemos que 2*2 = 2^2

Entonces:

`4^x + 4^(-x) = (2*2)^x + (2*2)^(-x) = (2^2)^x + (2^2)^(-x)`

y ahora podemos usar la relación:

`(a^n)^m = (a^m)^n = a^(m*n)`

entonces:

`(2^2)^x + (2^2)^(-x) = (2^x)^2 + (2^(-x))^2`

Ahora podemos completar cuadrados sumando y restando el termino:

`2*(2^x)*(2^(-x))`

Asi tendremos:

`(2^x)^2 + (2^(-x))^2 = (2^x)^2 + (2^(-x))^2 + 2*(2^x)*(2^(-x)) - 2*(2^x)*(2^(-x)) = (2^x + 2^(-x))^2 - 2*(2^x)*(2^(-x))`

Entonces de momento tenemos que:

`4^x + 4^(-x) = (2^x + 2^(-x))^2 - 2*(2^x)*(2^(-x))`

Sabemos que el termino que esta dentro del parentesis es igual a 3.

Y tambien podemos usar la propiedad:

`a^n*a^m = a^(n + m)`

en el termino de la derecha.

Asi tendremos:

`(2^x + 2^(-x))^2 - 2*(2^x)*(2^(-x)) = (3)^2 - 2*2^(x + (-x)) = 9 - 2 = 7`