Question

Show that: |A⃗ + B⃗ |² - |A⃗ - B⃗ |² = 4 A⃗.B⃗ .​

Answer 1

Given Question:-

Prove that :

`\sf \: { |\vec{A} + \vec{B}| }^(2) - { |\vec{A} - \vec{B}| }^(2) = 4 \: \vec{A} \: . \: \vec{B}`

`\green{\large\underline{\sf{Solution-}}}`

Consider, LHS

`\rm :\longmapsto\: { |\vec{A} + \vec{B}| }^(2) - { |\vec{A} - \vec{B}| }^(2)`

We know,

`\rm :\longmapsto\:\boxed{\tt{ |\vec{x}| ^(2) = \vec{x}.\vec{x}}}`

So, using this, we get

`\rm \:  =  \: (\vec{A} + \vec{B}).(\vec{A} + \vec{B}) - (\vec{A} - \vec{B}).(\vec{A} - \vec{B})`

`\rm \:  =  \:[ \vec{A}.\vec{A} + \vec{A}.\vec{B} + \vec{B}.\vec{A} + \vec{B}.\vec{B}] - [\vec{A}.\vec{A} - \vec{A}.\vec{B} - \vec{B}.\vec{A} + \vec{B}.\vec{B}]`

`\rm \:  =  \: [ { |\vec{A}| }^(2) + \vec{A}.\vec{B} + \vec{A}.\vec{B} + { |\vec{B}| }^(2)] - [ { |\vec{A}| }^(2) - \vec{A}.\vec{B} - \vec{A}.\vec{B} + { |\vec{B}| }^(2)]`

`\red{ \bigg\{  \sf \: \because \: \vec{A}.\vec{B} = \vec{B}.\vec{A} \bigg\}}`

`\rm \:  =  \: [ { |\vec{A}| }^(2) + 2\vec{A}.\vec{B} + { |\vec{B}| }^(2)] - [ { |\vec{A}| }^(2) -2 \vec{A}.\vec{B} + { |\vec{B}| }^(2)]`

`\rm \:  =  \: { |\vec{A}| }^(2) + 2\vec{A}.\vec{B} + { |\vec{B}| }^(2)- [{ |\vec{A}| }^(2) + 2 \vec{A}.\vec{B} - { |\vec{B}| }^(2)`

`\rm \:  =  \: 4 \: \vec{A}.\vec{B}`

Hence,

`\sf \:\boxed{\tt{ \: \: { |\vec{A} + \vec{B}| }^(2) - { |\vec{A} - \vec{B}| }^(2) = 4 \: \vec{A} \: . \: \vec{B} \: \: }}`

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Additional Information

`\boxed{\tt{ \vec{A}.\vec{B} = \vec{B}.\vec{A}}}`

`\boxed{\tt{ \vec{A}.\vec{A} = { |\vec{A}| }^(2) }}`

`\boxed{\tt{ \vec{A} * \vec{B} = - \vec{B} * \vec{A}}}`

`\boxed{\tt{ \vec{A} * \vec{A} = 0}}`

`\boxed{\tt{ \vec{A}.\vec{B} = 0 \: \rm\implies \:\vec{A} \: \perp \: \vec{B}}}`

`\boxed{\tt{ \vec{A} * \vec{B} = 0 \: \rm\implies \:\vec{A} \: \parallel \: \vec{B}}}`