Answer: Une femme saute d'un avion à une altitude de 10 000 pieds, tombe librement pendant 20 s, puis ouvre son parachute. Combien de temps lui faudra-t-il pour atteindre le sol ? Supposons une résistance linéaire de l’air ρv ft/s2
, en prenant ρ=0,15
sans le parachute et ρ=1,5
avec le parachute. (Suggestion : déterminez d'abord sa hauteur au-dessus du sol et sa vitesse lorsque le parachute s'ouvre.)
Sans le parachute :
dvdt=32−0,15v
∫dv32−0.15v=∫dt
−10,15ln (32−0,15v)=t+C1
v(0)=0
C1=−10,15ln 32
−10,15ln (32−0,15v)=t−10,15ln 32
Quand t=20
,
−10,15ln (32−0,15v20)=20−10,15ln 32
−ln (32−0,15v20)=3−ln 32=−0,466
32−0,15v20=1,593
v20=202.712
−ln (32−0,15v)=0,15t−ln 32
ln (3232−0,15v)=0,15t
(3232−0,15v)=e0,15t
32−0,15v=32e−0,15t
0,15dxdt=32(1−e−0,15t)
∫3640dx=∫(1−e−0.15t)dt
3x640=t+e−0,15t0,15+C2
x(0)=0
C2+10,15=0
C2=−10,15
3x640=t+e−0,15t0,15−10,15
Quand t=20
,
3x20640=20+e−30.15−10.15
x20=2915,253
Avec le parachute :
dvdt=32−1,5v
−11,5ln |32−1,5v|=t+C3
ln |32−1,5v|=−1,5(t+C3)
32−1,5v=±e−1,5C3e−1,5t=Be−1,5t
[où B=±e−1.5C3
].
v(20)=202,712
−272,068=B∗e−30
B=−2,907∗1015
32−1,5v=−2,907∗1015e−1,5t
32−1,5dxdt=−2,907∗1015e−1,5t
1,5dxdt=32+2,907∗1015e−1,5t
∫1,5dx=∫(32+2,907∗1015e−1,5t)dt
1,5x=32t−1,938∗1015e−1,5t+C4
x(20)=2915,253
4372,88=640−1,938∗1015e−30+C4
C4=3914,231
1,5x=32t+1,938∗1015e−1,5t+3914,231
Quand x=10 000
,
15000=32t+1,938∗1015e−1,5t+3914,231
32t+1,938∗1015e−1,5t=11085,769
t≈346 s=5 min 46 s