Answer:
Pour montrer que les trois expressions correspondent à la même fonction, il suffit de montrer qu'elles ont la même forme générale. En développant et simplifiant chaque expression, on obtient :f(x) = 2x² + 4x - 6
g(x) = 21x² + 2x - 7
h(x) = 2x² + 4x - 6On remarque que les expressions de f(x) et h(x) sont identiques, donc f(x) = h(x). Pour montrer que g(x) correspond également à cette fonction, il suffit de développer et simplifier :g(x) = 21x² + 2x - 7
= 21x² + 42x/21 - 7
= 21(x² + 2x/21) - 7
= 21[(x + 1/21)² - 1/441] - 7
= 21(x + 1/21)²/441 - 8/21On remarque que cette expression est équivalente à f(x) avec un décalage de 1/21 unité vers la gauche et une homothétie de rapport 21/441 suivie d'une translation de -8/21 unité vers le bas. Ainsi, g(x) = f(x + 1/21) * 21/441 - 8/21. Comme cette équation montre que g(x) peut s'écrire en fonction de f(x), les trois expressions correspondent donc à la même fonction.a) Les antécédents de 0 sont les valeurs de x pour lesquelles f(x) = 0. En résolvant l'équation 2x² + 4x - 6 = 0, on trouve :x = (-4 ± √40)/4
x = -1 ± √10/2Les antécédents de 0 sont donc x = -1 + √10/2 et x = -1 - √10/2. Les antécédents de -6 sont les valeurs de x pour lesquelles f(x) = -6. En résolvant l'équation 2x² + 4x - 6 = -6, on trouve simplement :2x² + 4x = 0
2x(x + 2) = 0
x = 0 ou x = -2Les antécédents de -6 sont donc x = 0 et x = -2.b) Les images de 0, 1 et √3 - 1 sont respectivement f(0) = -6, f(1) = 0 et f(√3 - 1) = 2(√3 - 1)² + 4(√3 - 1) - 6 = 12.c) Les abscisses des points de la courbe de f d'ordonnée 24 sont les solutions de l'équation 2x² + 4x - 6 = 24, soit :2x² + 4x - 30 = 0
x² + 2x - 15 = 0
(x + 5)(x - 3) = 0Les abscisses des points de f d'ordonnée 24 sont donc x = -5 et x = 3.