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Explanation:
Pour prouver que les nombres complexes de valeur absolue 1 constituent un groupe sous multiplication, il faut montrer que les quatre conditions suivantes sont satisfaites :
Clôture : Si z1 et z2 sont deux nombres complexes de valeur absolue 1, alors leur produit z1z2 a aussi la valeur absolue 1.
Associativité : La multiplication des nombres complexes est associative, cette condition est donc automatiquement satisfaite.
Élément d'identité : Il existe un nombre complexe de valeur absolue 1, noté 1, tel que z1 x 1 = z1 pour tout nombre complexe z1 de valeur absolue 1.
Élément inverse : Pour tout nombre complexe z de valeur absolue 1, il existe un autre nombre complexe, noté z^(-1), tel que zxz^(-1) = 1.
Pour prouver ces conditions, nous pouvons faire ce qui suit :
Clôture : Soient z1 et z2 deux nombres complexes de valeur absolue 1, c'est-à-dire |z1| = |z2| = 1. Alors on a :
|z1z2| = |z1| x |z2| = 1 x 1 = 1,
ce qui signifie que z1z2 est aussi un nombre complexe de valeur absolue 1.
Associativité : Cette condition est automatiquement satisfaite, puisque la multiplication complexe est associative.
Élément d'identité : Soit 1 le nombre complexe de magnitude 1 et d'argument 0, c'est-à-dire 1 = cos(0) + i sin(0) = 1 + 0i. Alors, pour tout nombre complexe z de magnitude 1, on a :
zx 1 = (cos(thêta) + je sin(thêta))(1 + 0i) = cos(thêta) + je sin(thêta) = z,
où thêta est l'argument de z. Par conséquent, 1 est l'élément d'identité du groupe.
Élément inverse : Soit z un nombre complexe de valeur absolue 1, c'est-à-dire |z| = 1. Alors, l'inverse de z est donné par :
z^(-1) = 1/z,
où 1 est l'élément d'identité et / désigne la division. Depuis |z| = 1, on a :
|1/z| = |1|/|z| = 1/1 = 1,
ce qui signifie que 1/z est aussi un nombre complexe de valeur absolue 1. De plus, on a :
zx 1/z = (cos(thêta) + je péché(thêta))(cos(-thêta) + je péché(-thêta)) = cos(thêta - thêta) + je péché(thêta - thêta) = 1,
où thêta est l'argument de z. Par conséquent, 1/z est l'élément inverse de z dans le groupe.
Puisque les quatre conditions sont satisfaites, nous pouvons conclure que les nombres complexes de valeur absolue 1 constituent un groupe sous multiplication.