Answer: Da der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist, können wir annehmen, dass er die Form f(x) = ax^3 hat.
Explanation:
Da der Graph einen Tiefpunkt an der Stelle x = 1 hat, gilt f'(1) = 0 und f''(1) < 0.
Also gilt:
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
Da f'(1) = 0, haben wir:
3a + 2b + c = 0
Da f''(1) < 0, haben wir:
6a + 2b < 0
3a + b < 0
b < -3a
Da der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist, haben wir:
f(-x) = -f(x)
Also haben wir:
-a x^3 + bx^2 - cx + d = -ax^3 - bx^2 - cx - d
oder
2bx^2 + 2d = 0
b = -d
Da der Graph durch A(2|2) geht, haben wir:
8a + 4b + 2c + d = 2
Und da der Graph einen Tiefpunkt bei x = 1 hat, haben wir:
f(1) = a + b + c + d = 0
Jetzt können wir die Gleichungen lösen, um die Koeffizienten der Funktion zu finden. Zunächst setzen wir b = -d ein und erhalten:
3a + 2b + c = 0
6a - 2d < 0
b < -3a
a + b + c + d = 0
8a - 2b + 2c - d = 2
Lösen dieser Gleichungssysteme liefert a = -1