Question

EXERCICE 2

On considère l'expression :
A = x² - 4+2(x + 2)2²
1) Développer, réduire et ordonner l'expression A.
= √2.
2) Calculer la valeur de A lorsque x =
3) a) Factoriser x² - 4 puis factoriser l'expression A.
b) Résoudre, dans l'ensemble des nombres, l'équation A = 0.

Answer 1

Développement de A:
A = x² - 4 + 2(x+2)²
= x² - 4 + 2(x² + 4x + 4) [en utilisant (a+b)² = a² + 2ab + b²]
= x² - 4 + 2x² + 8x + 8
= 3x² + 8x + 4
Réduction et ordre de A:
A = 3x² + 8x + 4

Si x = √2, alors :
A = 3(√2)² + 8√2 + 4
= 3(2) + 8√2 + 4
= 6 + 8√2 + 4
= 10 + 8√2
Donc A = 10 + 8√2 lorsque x = √2.

a) Factorisation de x² - 4:
x² - 4 = (x+2)(x-2)
Factorisation de A:
A = 3x² + 8x + 4
= 3(x² + (8/3)x) + 4
= 3(x² + (8/3)x + 4/9 - 4/9) + 4
= 3[(x+4/3)² - 4/9] + 4
= 3(x+4/3)² - 4

b) Pour résoudre l'équation A = 0, on utilise la factorisation de A obtenue dans la partie a):
3(x+4/3)² - 4 = 0
3(x+4/3)² = 4
(x+4/3)² = 4/3
x + 4/3 = ±√(4/3)
x = -4/3 ± √(4/3)

Ainsi, les solutions de l'équation A = 0 sont x = -4/3 + √(4/3) et x = -4/3 - √(4/3).