Question

9 Evaluate: (a) cos 105° + sin 105° (d) tan 15° + cot 15°​

Answer 1

• Cos 105° + Sin 105° = Cos 45° using trigonometric ratio table

• Tan 15° + Cot 15° = 4 using trigonometric ratio table

How to evaluate using trigonometric ratio table

Given that

sin 15° =
`√(3) -1`

cos 15° =
`√(3) +1`

sin 30° = 1/2

cos 30° =
`(√(3) )/(2)`

cos 45° =
`(1)/(√(2) )`

sin 45° =
`(1)/(√(2) )`

To evaluate the question

a. cos 105° + sin 105°

sin ( 90° + 15°) = cos 15°

cos(90° + 15°) = sin 15°

= Cos 15° - sin 15°

So, cos 15° = cos( 45° - 30°) = sin45°cos30° - cos45°sin30°

=
`(1)/(√(2) )` *
`(√(3) )/(2)` -
`(1)/(√(2) )` * 1/2

=
`(√(3) )/(2√(2) ) - (1)/(2√(2) )`

cos 15° =
`(√(3) -1)/(2√(2) )`

sin 15° = cos(45° - 30°) = cos45°cos30° + sin45°sin30

sin 15° =
`(1)/(√(2) )` *
`(√(3) )/(2)` +
`(1)/(√(2) )` * 1/2

sin 15° =
`(√(3) )/(2√(2) ) + (1)/(2√(2) )`

sin 15° =
`(√(3) +1)/(2√(2) )`

So, cos 105° + sin 105° =
`(√(3) +1)/(2√(2) )` -
`(√(3) -1)/(2√(2) )`

=
`(√(3) +1-√(3) +1)/(2√(2) )`

=
`(2)/(2√(2) )`

=
`(1)/(√(2) )`

= cos 45°

b. tan 15° + cot 15°

where tan 15° = sin 15°/cos 15°

cot 15° = cos 15°/ sin 15°

tan 15° + cot 15° =
`(sin 15)/(cos 15) +(cos 15)/(sin 15)`

=
`(√(3) -1)/(√(3) +1) + (√(3) +1)/(√(3) -1)`

=
`(3+1-2√(3)+3+1+2√(3) )/((√(3) +1)(√(3) -1))`

=
`(8)/(3-1)`

= 8/2

= 4