Question

Partie 1

A et B sont deux points donnés, I est tel que 3AI=AB(vecteur)

A tout point M du plan, on associe M' de la manière suivante:
*M' est le milieu de [AN]
*N est le milieu de [MB]

On dit que M' est l'image de M par la transformation f. On note M'=f(M).Le but de cette partie est de trouver la nature de f
1)Démontrez que F(I)=I
2)a) Démontrez que M' est le barycentre de (A;2) (B;1) (M;1)
b) En déduire que M' est aussi le barycentre de (I;3) (M;1)
3)a) Démontrez que les points I, M et M' sont alignés
b) Quelle relation lie les vecteurs IM et IM'
c) En déduire la nature de f

Answer 1

Explanation:

1) Pour trouver F(I), on doit trouver les points A' et B' en utilisant la définition de f.

Comme I = 3A-AB, alors A = (I + AB)/3.

Ainsi, A' est le milieu de [IN], donc A' = (I+N)/2.

De même, B' est le milieu de [IM], donc B' = (I+M)/2.

Alors, F(I) = A'B' = [(I+N)/2, (I+M)/2] = I, car le milieu d'un segment est équidistant de ses extrémités.

Donc, F(I) = I.

2)a) Nous savons que A' est le milieu de [AN], donc A' = (A+N)/2, ou de façon équivalente, N = 2A' - A.

De même, B' est le milieu de [MB], donc B' = (M+B)/2, ou de façon équivalente, M = 2B' - B.

Nous cherchons maintenant une combinaison linéaire de A et M telle que le barycentre soit M':

M' = (A + 2M)/3

Remplaçons A et M par leurs expressions en fonction de A' et B':

M' = [(2B' - B) + 2(A' - B')]/3 = [(2A' - B) + (2B' - A)]/3

M' est donc le barycentre des points A, B et M avec des coefficients respectifs de 2, 1 et 1, donc

(M:1) (A:2) (B:1).

b) De même, nous pouvons trouver une autre combinaison linéaire de M et A telle que le barycentre soit M':

M' = (3M + A)/4

Remplaçons A et M par leurs expressions en fonction de A' et B':

M' = [(3/2)B' + (3/4)A' - (1/4)B]/2

M' est donc le barycentre des points A, M et un point C tel que

C = [(3/2)B' + (3/4)A' - (1/4)B]/3.

Ainsi, M' est le barycentre des points M, A et C avec des coefficients respectifs de 1, 3 et 1, donc

(M:1) (A:3) (C:1).

3)a) Nous avons montré que F(I) = I à la première question, donc I' = I. Nous avons également montré que M' est le barycentre de (A:2) (B:1) et (M:1), donc il est sur la droite (AB) et on a AM/MB = 1/2. Comme M' est le barycentre de (M:1) (A:3) (C:1) et que (A:3) et (M:1) ont le même support que (A:2) et (M:1) respectivement, on a aussi MC/MA = 1/2, ce qui signifie que M' est sur la droite (MC).

Ainsi, les points I, M et M' sont alignés.

b) La relation entre les vecteurs IM et IM' est que IM' = 2IM, car M' est le milieu d'IM, donc IM' est deux fois plus grand que IM.

c) La transformation f est donc une homothétie de rapport 2 centrée en I.