Bonjour !
Pour obtenir la deuxième ligne de l'équation que vous avez donnée, on peut tout simplement développer le terme Un+1 en utilisant la définition de Un+1 donnée par la relation de récurrence :
Un+1 = 2Un + 1/3(n+1)
En remplaçant Un+1 dans l'expression Un+1 - Un, on obtient :
Un+1 - Un = (2Un + 1/3(n+1)) - Un
On simplifie l'expression en combinant les termes similaires :
Un+1 - Un = 2Un - Un + 1/3(n+1)
Un+1 - Un = Un + 1/3(n+1)
Maintenant, pour obtenir la troisième ligne de l'équation, on peut factoriser Un - Un+1 en utilisant le signe moins :
Un - Un+1 = - (Un+1 - Un)
Un - Un+1 = - (Un+1 - 2Un - 1/3(n+1))
Un - Un+1 = - (-2Un - Un+1 - 1/3(n+1))
Un - Un+1 = 2/3Un + 1/3(n+1) - 1/3Un - 2/3Un - 1/3(n+1)
On simplifie à nouveau en combinant les termes similaires :
Un - Un+1 = -1/3Un + 1/3(n+1)
Enfin, pour obtenir la quatrième ligne de l'équation, on utilise l'associativité de l'addition pour regrouper les termes :
Un - Un+1 = -1/3Un + 1/3(n+1)
Un - Un+1 = 1/3(n+1) - 1/3Un
Un - Un+1 = 1/3(n+3 - Un)
J'espère que cela vous aide à comprendre la démonstration de cette relation de récurrence. N'hésitez pas à me poser d'autres questions si vous en avez besoin !