Un industriel souhaite fabriquer une boîte sans couvercle à partir d'une plaque de métal de
18 cm de largeur et de 24 cm de longueur. Pour cela, il enlève des carrés dont la longueur
du côté mesure x cm aux quatre coins de la pièce de métal et relève ensuite verticalement
pour fermer les côtés.
18
24
X
I
Le volume de la boîte ainsi obtenue est une fonction définie sur l'intervalle [0;9] notée
V(x).
1. Justifier que pour tout réel x appartenant à [0:9]: V(x) = 4x³ - 84x² + 432x.
2. On note V' la fonction dérivée de V sur [0; 9]. Donner l'expression de V'(x) en
fonction de x.
3. Dresser alors le tableau de variations de V en détaillant la démarche.
4. Pour quelle(s) valeur(s) de x la contenance de la boîte est-elle maximale ?
5. L'industriel peut-il construire ainsi une boîte dont la contenance est supérieure ou
égale à 650 cm³ ? Justifier.
Information : on calculera « à la main » la valeur maximale exacte.