Question

Lim X approaches to zero

`(x + \tan(4x) )/(2x)`
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Answer 1

`\large\boxed{\lim\limits_(x\to0)(x+\tan(4x))/(2x)=2(1)/(2)=2.5}`

Explanation:

`\lim\limits_(x\to0)(x+\tan(4x))/(2x)=\lim\limits_(x\to0)\bigg((x)/(2x)+(\tan(4x))/(2x)\bigg)\\\\=\lim\limits_(x\to0)(x)/(2x)+\lim\limits_(x\to0)(\tan(4x))/(2x)=\lim\limits_(x\to0)(1)/(2)+\lim\limits_(x\to0)(\tan(4x))/(2x)\\\\=(1)/(2)+\lim\limits_(x\to0)(\tan(4x))/(2x)=(*)`

`\lim\limits_(x\to0)(\tan(4x))/(2x)\qquad\text{we have}\ \left((0)/(0)\right),\text{use L'Hospital's rule}\\\\=\lim\limits_(x\to0)(\left(\tan(4x)\right)')/((2x)')\\\\\bigg(\tan(4x)\bigg)'=(1)/(\cos^2(4x))\cdot(4x)'=(4)/(\cos^2(4x))\\\\(2x)'=2\\\\\text{substitute}\\\\=\lim\limits_(x\to0)((4)/(\cos^2(4x)))/(2)=\lim\limits_(x\to0)(4)/(2\cos^2(4x))=\lim\limits_(x\to0)(2)/(\cos^2(4x))=(2)/(\cos^2(4\cdot0))\\\\=(2)/(\cos^20)=(2)/(1)=2`

`(*)=(1)/(2)+2=2(1)/(2)`