Question

Let z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i, and z3 = a3 + b3i. Prove the folowing using algebra or by showing with vectors.

a. z1 + z2 = z2 + z1
b. z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3

Answer 1

a)z1 +z2 =z2 + z1 ...proved.

b) z1 + ( z2+ z3 )=(z1+z2)+z3 ... proved.

Explanation:

It is given that there are three vectors z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 and z3 = a3 + ib3. Now, we have to prove (a) z1 + z2 = z2 + z1 and (b) z1 + (z2 +z3) = (z1 + z2) + z3.

(a) z1 + z2 = (a1 +ib1) + (a2+ ib2) = (a1 +a2) + i(b1 +b2) {Adding the real and imaginary parts separately}

Again, z2 + z1 =(a2 +ib2) + (a1 +ib1) = (a2 +a1) + i(b2 +b1) {Adding the real and imaginary parts separately}

Hence, z1 +z2 =z2 + z1 {Since, (a1 +a2) = (a2 +a1) and (b1 +b2) = (b2 +b1)}

(b) z1 + ( z2+ z3 ) = [a1 + ib1] + [(a2 + a3 ) + i(b2 + b3 )] = ( a1 + a2 + a3) + i( b1+ b2+b3) {Adding the real and imaginary parts separately}

Again, (z1+z2)+z3 = [(a1+a2) +i(b1+b2)]+[a3+ib3] = ( a1 + a2 + a3) + i( b1+ b2+b3) {Adding the real and imaginary parts separately}

Hence, z1 + ( z2+ z3 )=(z1+z2)+z3 proved.