The cross product distributes over sums, so we have
[O produto cruzado distribui somas, então temos]
(u + v) × (u - v) = (u × u) + (v × u) + (u × (-v)) + (v × (-v))
(u + v) × (u - v) = (u × u) + (v × u) - (u × v) - (v × v)
The cross product of a vector with itself is the zero vector, so
[O produto vetorial de um vetor com ele mesmo é o vetor zero, então]
(u + v) × (u - v) = 0 + (v × u) - (u × v) - 0
(u + v) × (u - v) = (v × u) - (u × v)
The cross product is anticommutative, meaning that for two vectors u and v,
[O produto vetorial é anticomutativo, o que significa que para dois vetores u e v,]
u × v = - (v × u)
So we end up with
[Então acabamos com]
(u + v) × (u - v) = (v × u) + (v × u)
(u + v) × (u - v) = 2 (v × u)
Given that u = (2, -3, -1) and v = (1, -1, 4), compute the cross product as follows:
[Dados esses vetores, calcule o produto vetorial:]
(1, -1, 4) × (2, -3, -1)
= ((1, 0, 0) - (0, 1, 0) + 4 (0, 0, 1)) × (2 (1, 0, 0) - 3 (0, 1, 0) - (0, 0, 1))
= 2 (1, 0, 0) × (1, 0, 0) - 2 (0, 1, 0) × (1, 0, 0) + 8 (0, 0, 1) × (1, 0, 0)
… … - 3 (1, 0, 0) × (0, 1, 0) + 3 (0, 1, 0) × (0, 1, 0) - 12 (0, 0, 1) × (0, 1, 0)
… … - (1, 0, 0) × (0, 0, 1) + (0, 1, 0) × (0, 0, 1) - 4 (0, 0, 1) × (0, 0, 1)
Recall the definition of the cross product:
[Lembre-se da definição de produto vetorial:]
(1, 0, 0) × (0, 1, 0) = (0, 0, 1)
(0, 1, 0) × (0, 0, 1) = (1, 0, 0)
(0, 0, 1) × (1, 0, 0) = (0, 1, 0)
The product reduces to
[O produto se reduz a]
(1, -1, 4) × (2, -3, -1)
= -2 (0, 1, 0) × (1, 0, 0) + 8 (0, 0, 1) × (1, 0, 0)
… … - 3 (1, 0, 0) × (0, 1, 0) - 12 (0, 0, 1) × (0, 1, 0)
… … - (1, 0, 0) × (0, 0, 1) + (0, 1, 0) × (0, 0, 1)
= 2 (0, 0, 1) + 8 (0, 1, 0) - 3 (0, 0, 1) + 12 (1, 0, 0) + (0, 1, 0) + (1, 0, 0)
= - (0, 0, 1) + 9 (0, 1, 0) + 13 (1, 0, 0)
= (13, 9, -1)
Finally,
[Finalmente,]
(u + v) × (u - v) = 2 (13, 9, -1) = (26, 18, -2)