Question

Integrate with respect to x 2tanx secant^2x/(1+ tan²x)
​

Answer 1

`\displaystyle \int \bf \: \frac{2 \: tan \: x. {sec}^(2) \: x }{1 + {tan}^(2) \: x } \: \: dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ = 2 \displaystyle \int \bf \: \frac{tan \: x \: . \: \cancel{ {sec}^(2) \: x}}{ \cancel{ {sec}^(2) \: x}} \: \: dx \: \: \: \: \pink{ \{ \because \: {sec}^(2) \: x - {tan}^(2) \: x = 1 \}} \\ \\ = 2 \displaystyle \int \bf \: tan \: x \: \: dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ = 2 \displaystyle \int \bf \: (sin \: x)/(cos \: x) \: \: dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ = - 2 \displaystyle \int \bf \: ( - \: sin \: x)/( \: cos \: x) \: \: dx\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ = \bf \: - 2 \ln \: |cos \: x| + c\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \green{ \{ \because \: \displaystyle \int \bf \: \frac{ {f}^(′) (x)}{f(x)} \: dx = \ln \: |f(x)| + c \}}`