Question

Obtener el área del lazo interno correspondiente a la ecuación polar r = 1 - 2seno. Realice el bosquejo gráfico representativo de este hecho.​

Answer 1

El área del lazo interno de la ecuación polar r = 1 - 2seno se puede obtener mediante la siguiente fórmula:

`A = (1)/(2) \int_(\alpha)^(\beta) r^2 d\theta`

Donde

`\alpha y \beta`

son los ángulos que determinan el lazo interno. Para hallar estos ángulos, debemos resolver la ecuación r = 0, que es equivalente a:

`1 - 2seno = 0`

`seno = (1)/(2)`

`\theta = (\pi)/(6), (5\pi)/(6)`

Estos son los ángulos que forman el lazo interno, por lo que podemos sustituirlos en la fórmula del área:

`A = (1)/(2) \int_{(\pi)/(6)}^{(5\pi)/(6)} (1 - 2seno)^2 d\theta`

`A = (1)/(2) \int_{(\pi)/(6)}^{(5\pi)/(6)} (1 - 4seno + 4seno^2) d\theta`

`A = (1)/(2) \left[ \theta - 4cos \theta + (4)/(3) sen 3\theta \right]_{(\pi)/(6)}^{(5\pi)/(6)}`

`A = (1)/(2) \left[ (5\pi)/(6) - 4cos (5\pi)/(6) + (4)/(3) sen (5\pi)/(2) - (\pi)/(6) + 4cos (\pi)/(6) - (4)/(3) sen (\pi)/(2) \right]`

`A = (1)/(2) \left[ (2\pi)/(3) - 4 \left( -(√(3))/(2) \right) + (4)/(3) \left( -1 \right) + 4 \left( (√(3))/(2) \right) - (4)/(3) \right]`

`A = (1)/(2) \left[ (2\pi)/(3) + 4√(3) - (8)/(3) \right]`

`A \approx 4.233`

El área del lazo interno es aproximadamente 4.233 unidades cuadradas.

El bosquejo gráfico de la ecuación polar r = 1 - 2seno se muestra a continuación. Se puede observar que el lazo interno se forma cuando el ángulo

`\theta`

varía entre

`(\pi)/(6)`

y

`(5\pi)/(6)`